音程网络理论、古典和声与抽象音乐资源的组合几何

在先前的提交中，我们确立了音程网络与构形之间的基本关系。已证明 Eulerian tonnetz 可以由 Daublebsky von Sterneck 类型 D222 的 $\{12_3\}$ 表示。我们还为 Tristan 属和弦（属七和弦与半减七和弦）构建了一个 tonnetz，并证明该 tonnetz 可由类型 D228 的 $\{12_3\}$ 表示。在这两种构造中，相关的 Levi 图都发挥了重要作用。在此我们考察与其他音乐系统相关的 tonnetze，从而为将音乐视为组合几何的抽象观点提供若干具体实例。首先，我们考察古典时期典型的调性和声。对于自然音三和弦，我们证明了存在一个类型为 $\{7_3\}$ 且围长为四的二部图，它表示了七个自然音音级与其音高类之间的著名关系。对于自然音七和弦，我们获得了一个 Fano 构形 $\{7_3\}$，它完整刻画了此类和弦之间成立的声部进行关系。接着，我们基于 Desargues 构形 $\{10_3\}$ 构建了一个用于五声音乐的 tonnetz，并基于 Cremona-Richmond 构形 $\{15_3\}$ 构建了一个用于十二音体系的 tonnetz。两者均可作为音乐创作的资源。最后，我们证明了半音音高类集合与大三和弦集合之间的关系也可由 D222 表示。小三和弦与该构形的 Levi 图中某一特定类别的六边环成员一一对应。以此方式，tonnetz 中大三和弦与小三和弦之间的特征对偶性可被打破。