度量测度空间中抛物型变分问题的时间光滑化

2013 年，Masson 与 Siljander 确定了如下方法：证明对于抛物型 Newton-Sobolev 函数 $f\in L^p_\mathrm{loc}(0,\tau;N^{1,p}_\mathrm{loc}(\Omega))$（其中 $\tau>0$，$\Omega$ 为倍增度量测度空间 $(\mathbb{X},d,\mu)$ 中的开域，该空间支持弱 $(1,p)$-Poincar\'e 不等式，$p\in(1,\infty)$）的时间 mollification $f_\varepsilon$（$\varepsilon>0$）的 $p$-极小上梯度 $g_{f_\varepsilon}$，满足 $g_{f-f_\varepsilon}\to0$（当 $\varepsilon\to0$ 时）于 $L^p_\mathrm{loc}(\Omega_\tau)$ 中，其中 $\Omega_\tau$ 为抛物柱面 $\Omega_{\tau}:=\Omega\times(0,\tau)$。他们的方法涉及 Cheeger 微分结构的使用，因而存在某些局限；此处我们将看到，抛物 Sobolev 空间的定义与形式性质本身即允许找到一种更直接的方法以展示该收敛性，该方法仅依赖于 $p$-弱上梯度，且无论环境空间的结构假设如何均成立，在极限情形 $p=1$ 时亦如此。