棱柱图与 Petersen 图的阈值染色

设 $G$ 为一个图，$r \geq t$ 为整数，$N \subseteq E(G)$。关于 $N$ 的 $G$ 的 $(r,t)$-阈值染色是一个映射 $c: V(G) \rightarrow \{0,\ldots,r-1\}$，使得对每条 $uv \in N$ 有 $|c(u)-c(v)| \leq t$，而对每条 $uv \in E(G) \setminus N$ 有 $|c(u)-c(v)|>t$。若存在整数 $r,t$ 使得对每种子集 $N \subseteq E(G)$，$G$ 都容许关于 $N$ 的 $(r,t)$-阈值染色，则称该图是完全阈值可染色的（total threshold colorable）。我们证明每个棱柱图都是完全阈值可染色的，且 Petersen 图也是完全阈值可染色的。与此事实相反，我们证明 Möbius 梯子图（Moebius ladders）不是完全阈值可染色的，由此推得不存在用有限个禁用子图刻画完全阈值可染色的性质。