四维临界分支布朗运动的稠点

我们研究具有临界分支机制的分支布朗运动与分支随机游走的稠点，聚焦于临界维数 $d = 4$。我们确定了支配以异常大量先驱者击中小球的概率的指数，表明在厚度参数 $a$ 的显式值（$a = 2$）处，该概率在指数相与拉伸指数相之间发生二阶相变。我们应用此分析的结果证明相关的稠点集 $\mathcal{T}(a)$ 的维数为 $(4-a)_+$，从而此情形下在 $a=4$ 处行为改变但在 $a = 2$ 处不变。在此过程中，我们获得了与半线性偏微分方程 $\Delta v = v^2$ 相关的边值问题的非正解的相关结果，并发展了树索引随机游走与树索引布朗运动之间的强耦合，使我们能推导离散情形中部分结果的类比。我们还对每个维数 $d\geq 1$ 获得了临界分支布朗运动击中远处单位球的概率的无穷阶渐近展开，发现该展开在 $d\neq 4$ 时收敛而在 $d=4$ 时发散。这揭示了一个新颖的、依赖于维数的临界指数，支配展开的高阶项，我们在每一维中计算了它。