扩张球中的分支布朗运动及其在温和障碍问题中的应用

我们首先研究 $\mathbb{R}^d$ 中由温和泊松障碍构成的分支布朗运动（BBM），其中通过泊松点过程在 $\mathbb{R}^d$ 中生成随机陷阱场。陷阱场由以泊松点过程原子为中心、固定半径的球组成。温和障碍规则为：当粒子位于陷阱内部时，其分支速率较低（可为零），而在陷阱外部时以正常速率分支。我们给出了温和障碍下 BBM 总质量的大偏差概率的上界，并随后利用 Borel-Cantelli 引理证明了相应的强大数定律。我们的结果是淬火的，即它们对关于泊松点过程的几乎所有环境成立。我们的强大数定律改进了 [6] 中已有的相应弱大数定律。接着，我们研究亚扩散扩张球内的 $d$ 维 BBM，其中球的边界具有失活作用：一旦 BBM 的粒子击中移动边界，它立即失活，但若其祖先线在之后某一时刻完全位于扩张球内，则可在该时刻重新激活。我们得到了当时间趋于无穷时，球内质量异常小的概率的大偏差结果。温和障碍问题证明中的一个关键要素正是扩张球内 BBM 质量的大偏差结果。