加权顶点PI指数

顶点PI指数是一种基于距离的分子结构描述符，近年来在化学中得到了广泛应用。为了增加该拓扑指数对二部图的区分度，我们引入了加权版本，定义为$PI_w (G) = \sum_{e = uv \in E} (deg (u) + deg (v)) (n_u (e) + n_v (e))$，其中$deg (u)$表示顶点$u$的度数，$n_u (e)$表示图$G$中到顶点$u$的距离小于到顶点$v$的距离的顶点数。我们建立了$PI_w (G)$的基本性质，并证明了各种下界和上界。特别地，在具有n个顶点的图中，路径图$P_n$的加权顶点PI指数最小，而完全三部图$K_{n/3, n/3, n/3}$的加权顶点PI指数最大。我们还计算了图的笛卡尔积的加权顶点PI指数的精确表达式。最后，我们提出了两个不等式的修正，并为未来的研究开辟了新的视角。