四条直线在$\mathbb{R}^3$中的Voronoi图

我们考虑欧几里得度量下$\mathbb{R}^3$中直线的Voronoi图，并给出其在四条处于一般位置的直线中的完全分类。我们首先表明，处于一般位置的四条直线的Voronoi图顶点数总是偶数，介于0和8之间，且所有此类数值都可以实现。我们识别了一种关键结构，称为“扭曲”，这是三分叉分支中相邻相交的配对；只有两种可能的扭曲类型，称为“完全扭曲”和“部分扭曲”。完全扭曲是纯粹的局部结构，可在不影响图其余部分的情况下插入或删除。假设不存在完全扭曲，则四条直线的最近Voronoi图和最远Voronoi图各有15种不同的拓扑结构，且二者之间存在一一对应关系；二维面都是无界的，顶点总数最多为6。最远图的无界特征，编码在二维球面图中，也呈现一一对应关系。所识别的拓扑结构都是可实现的。任何处于一般位置的四条直线的Voronoi图都可以通过插入完全扭曲来获得从这些拓扑结构中的一个；每个扭曲在最近和最远图中都引入恰好两个顶点的有界面。我们通过使用线Voronoi图的一些新结构和组合观察进行穷举搜索来获得分类。