任意范数下格的Voronoi胞

我们研究了任意范数下格的Voronoi胞的几何与复杂性。在正面结果方面，我们证明了对于严格凸且光滑的范数，任意维度下格的Voronoi胞的几何与欧氏情形相似，即Voronoi胞由所谓的Voronoi相关向量定义，且Voronoi胞的面与这些向量一一对应。在负面结果方面，我们证明了对于任意严格凸且光滑的范数，Voronoi胞的组合结构比欧氏情形复杂得多。特别地，我们构造了一族三维格，其关于$\ell_3$-范数的Voronoi相关向量个数无界。我们的结果表明，Micciancio和Voulgaris提出的用于求解欧氏范数下最短向量和最近向量问题的突破性单指数时间算法，无法推广到针对任意$\ell_p$-范数的格问题以实现确定性的单指数时间算法。事实上，Micciancio和Voulgaris算法及其运行时间分析关键依赖于如下事实：对于欧氏范数，Voronoi相关向量的个数关于格的维度是单指数的。