弱碰撞区中的Vlasov–Poisson–Landau系统

考虑三维环面上的弱碰撞区中具有库仑势的Vlasov-Poisson-Landau系统，即$$\begin{aligned} \partial_t F(t,x,v) + v_i \partial_{x_i} F(t,x,v) + E_i(t,x) \partial_{v_i} F(t,x,v) = \nu Q(F,F)(t,x,v),\\ E(t,x) = \nabla \Delta^{-1} (\int_{\mathbb R^3} F(t,x,v)\, \mathrm{d} v - \frac{1}{(2\pi)^3}\int_{\mathbb T^3} \int_{\mathbb R^3} F(t,x,v)\, \mathrm{d} v \, \mathrm{d} x), \end{aligned}$$ 其中$\nu\ll 1$。我们证明对于足够小（但独立于$\nu$）的$\epsilon>0$，从全局麦克斯韦分布出发的$O(\epsilon \nu^{1/3})$-索伯列夫空间扰动初值可导出全局时间解，且当$t\to \infty$时收敛于全局麦克斯韦分布。该解展现出关于$\nu$一致的Landau阻尼和增强耗散。我们的主要结果类似于Bedrossian先前针对具有相同阈值的Vlasov-Poisson-Fokker-Planck方程的结论。然而，与Fokker-Planck情形不同，由于Landau碰撞算子的复杂性，线性算子无法显式求逆。为此，我们发展了一个基于能量的框架，将Guo的加权能量方法与亚 coercive 能量方法和交换向量场方法相结合。证明还依赖于对线性化密度方程的点态预解估计。