带不变直线的 $\mathbb{P}^2$ 上二次叶状结构的极强刚性性质

本文研究复射影平面 $\mathbb{P}^2$ 上具有一条不变直线的二次全纯叶状结构。通过适当选取仿射坐标，这些叶状结构由仿射部分上的二次向量场诱导，使得该不变直线对应于无穷远直线。若存在 $\mathbb{P}^2$ 的一个同胚，将一叶状结构的叶片映到另一叶状结构的叶片，并保持环绕空间与叶片上的定向，则称这两个叶状结构拓扑等价。本文主要结果表明，在一般情形下，两个这样的叶状结构拓扑等价当且仅当它们解析等价。事实上，我们证明不变直线的完整群的解析共轭类是拓扑分类与解析分类的模。作为推论，我们得到 $\mathbb{C}^2$ 上两个一般轨道拓扑等价的二次向量场必为仿射等价。这一结果在二次叶状结构的情形下改进了 Ilyashenko 的一个著名结论：两个一般且拓扑等价的带无穷远不变直线的叶状结构，只要在叶状结构空间中足够接近且连接同胚足够接近 $\mathbb{P}^2$ 上的恒等映射，则必为仿射等价。