$\mathbb{T}^{4}$ 上能量临界非线性薛定谔方程的无条件唯一性

我们考虑能量临界的 $\mathbb{T}^{4}$ 三次 NLS。我们通过三次 Gross-Pitaevskii 层级研究 NLS 解的无条件唯一性，这是一种不常见的方法，且不需要解在 Strichartz 型空间中存在。我们证明了 $U$-$V$ 多线性估计以取代先前使用的、在 $\mathbb{T}^{4}$ 上失效的 Sobolev 多线性估计。为纳入更弱的估计，我们从头推导了新的组合结构，并首次在重组的 Duhamel-Born 展开中计算了时间积分极限。新的组合结构与 $U$-$V$ 估计随后在无限层级框架下无缝地给出了 NLS 的 $H^{1}$ 无条件唯一性。本工作建立了证明 $\mathbb{R}^{3}/\mathbb{R}^{4}/\mathbb{T}^{3}/\mathbb{T}^{4}$ 能量临界 Gross-Pitaevskii 层级及相应 NLS 的 $H^{1}$ 唯一性的统一方案。