具有非零边界条件的三次-五次非线性薛定谔方程的终态问题

我们针对三次-五次 NLS $$(i\partial_t+\Delta)\psi=\alpha_1 \psi-\alpha_{3}\vert \psi\vert^2 \psi+\alpha_5\vert \psi\vert^4 \psi$$ 在三维空间中构造了具有指定散射态的解，解类满足当 $|x|\to\infty$ 时 $|\psi(x)|\to c >0$。这模拟了处于静止状态的无限延伸（量子）流体中的扰动——极限模长 $c$ 对应于能量密度中的局部极小值。我们的论证基于 Gustafson、Nakanishi 和 Tsai 关于（散焦）Gross–Pitaevskii 方程的工作。能量临界非线性项的出现以及能量泛函几何结构的变化增加了若干新的复杂性。我们论证中的一个新要素是证明了此类（扰动）能量临界方程的解关于初值数据在 $H^1_x$ 的弱拓扑下表现出连续依赖关系。