三元系中 Berge-K_4 的图兰数

三元系中的 Berge-$K_4$ 是一种包含四个顶点 $v_1,v_2,v_3,v_4$ 和六个不同三元组 $\{e_{ij}: 1\le i< j \le 4\}$ 的构型，使得对每个 $1\le i<j\le 4$ 均有 $\{v_i,v_j\}\subset e_{ij}$。我们用 $\cal{B}$ 表示 Berge-$K_4$ 构型的集合。若三元系不包含 $\cal{B}$ 的任何成员，则称其为 $\cal{B}$-自由的。我们证明，在 $n\ge 6$ 个点上，一个 $\cal{B}$-自由三元系中三元组的最大数量由平衡的完全 $3$-部三元系达到：所有三元组 $\{abc: a\in A, b\in B, c\in C\}$，其中 $A,B,C$ 是将 $n$ 个点所作的划分，满足 $$\left\lfloor{n\over 3}\right\rfloor=|A|\le |B|\le |C|=\left\lceil{n\over 3}\right\rceil.$$