树上的触碰者-隔离者博弈

考虑如下在图 $G$ 的边上进行、由触碰者先手的 Maker-Breaker 型博弈。隔离者的目标是最大化不与触碰者所占任何边关联的顶点数，而触碰者的目标是最小化该数目。设 $u\left(G\right)$ 为双方均最优博弈时的孤立顶点数。Dowden、Kang、Mikala\v{c}ki 与 Stojakovi\'{c} 证明了 $\left\lceil \frac{n+2}{8}\right\rceil \le u\left(T\right)\leq\left\lfloor \frac{n-1}{2}\right\rfloor$，其中 $T$ 为含 $n$ 个顶点的树。该作者还证明了对于所有 $n\geq3$，有 $u\left(P_{n}\right)=\left\lfloor \frac{n+3}{5}\right\rfloor$，其中 $P_{n}$ 为含 $n$ 个顶点的路。本文旨在将下界改进为 $u\left(T\right)\geq\left\lfloor \frac{n+3}{5}\right\rfloor$，该界是紧的。我们的结果可视为说明：在给定顶点数的树中，路对隔离者而言是“最优”的。