图上的隔离博弈

给定一个图 $G$ 和一个图族 $\cal F$，由 Caro 和 Hansberg 引入的 $\cal F$-隔离集是任意满足 $G - N[S]$ 不包含 $\cal F$ 中成员作为子图的集合 $S\subset V(G)$。在本文中，我们引入了一种博弈，其中两个目标对立的玩家共同在 $G$ 中构建一个 $\cal F$-隔离集。沿用支配博弈的设定，Dominator (Staller) 希望在博弈结束时得到的 $\cal F$-隔离集尽可能小（尽可能大），这引出了称为博弈 $\cal F$-隔离数的图不变量，记为 $\iota_{\rm g}(G,\cal F)$。我们证明了延续原理在 $\cal F$-隔离博弈中成立，并且当 Dominator 或 Staller 先手时，博弈 $\cal F$-隔离数之间的差值至多为 $1$。考虑两个任意图族 $\cal F$ 和 $\cal F'$，我们找到了它们之间确保对于任何图 $G$ 均有 $\iota_{\rm g}(G,{\cal{F}}') \leq \iota_{\rm g}(G,{\cal{F}})$ 的关系。我们特别关注了当 ${\cal F}=\{K_2\}$ 时发生的隔离博弈。我们证明了对于任何图 $G$ 均有 $\iota_{\rm g}(G,\{K_2\})\le |V(G)|/2$，并猜想 $\lceil 3|V(G)|/7\rceil$ 是实际的（紧的）上界。我们证明了在森林上，当 Dominator 先手时，隔离博弈的持续时间绝不会长于 Staller 先手的博弈。最后，我们证明了路径 $P_n$ 的博弈隔离数的良好下界和上界，从而得出当 $n \equiv i \pmod 5$ 且 $i \in \{1,2,3\}$ 时的精确值 $\iota_{\rm g}(P_n,\{K_2\})=\left\lfloor\frac{2n+2}{5}\right\rfloor$。