图中正方形的隔离

给定图集$\mathcal{F}$，我们称$\mathcal{F}$中图的副本为$\mathcal{F}$-图。图$G$的$\mathcal{F}$-隔离数记为$\iota(G,\mathcal{F})$，是指顶点集$V(G)$的最小子集$D$的大小，使得$D$的闭邻域与$G$所含$\mathcal{F}$-图的顶点集相交（等价地，$G - N[D]$不含$\mathcal{F}$-图）。因此，$\iota(G,\{K_1\})$是$G$的支配数。第二作者证明了若$\mathcal{F}$为圈集且$G$为不含三角形的连通$n$顶点图，则$\iota(G,\mathcal{F}) \leq \left \lfloor \frac{n}{4} \right \rfloor$。该界对每个$n$均可达，并解决了Caro和Hansberg的一个问题。一个自然产生的问题是：若$\mathcal{F} = \{C_k\}$对某个$k \geq 3$（其中$C_k$为长度$k$的圈），上界能小多少。问题为确定最小实数$c_k$（若存在），使得对某个有限图集$\mathcal{E}_k$，对每個非$\mathcal{E}_k$-图的连通图$G$有$\iota(G, \{C_k\}) \leq c_k |V(G)|$。上述结果给出$c_3 = \frac{1}{4}$且$\mathcal{E}_3 = \{C_3\}$。第二作者还证明了若$k \geq 5$且$c_k$存在，则$c_k \geq \frac{2}{2k + 1}$。我们证明$c_4 = \frac{1}{5}$并确定了$\mathcal{E}_4$，其由三个4顶点图和六个9顶点图组成。$\mathcal{E}_4$中的9顶点图借助计算机程序完全确定。本文引入了一种有可能得出类似结果的方法。