$3$-顶点路径隔离数的问题解

连通 $n$ 顶点图 $G$ 的 $3$-路径隔离数，记为 $\iota(G,P_3)$，是顶点集中最小子集 $D$ 的大小，使得 $G$ 中 $D$ 的闭邻域 $N[D]$ 与 $G$ 的每个 $3$-顶点路径相交，即 $G-N[D]$ 中的任意两条边不相交。Zhang 和 Wu 证明，当 $G$ 不是 $3$-路径、$3$-环或 $6$-环时，$\iota(G,P_3) \leq 2n/7$。该下界由无限多个具有诱导 $6$-环的图达到。Huang、Zhang 和 Jin 证明，如果 $G$ 没有 $6$-环，或 $G$ 没有诱导 $5$-环且没有诱导 $6$-环，则 $\iota(G, P_3) \leq n/4$，除非 $G$ 是 $3$-路径、$3$-环、$7$-环或 $11$-环。他们询问该下界在没有诱导 $6$-环的连通图中是否仍然成立。更确切地说，设 $f(n)$ 为所有连通 $n$ 顶点图 $G$ 中 $\iota(G,P_3)$ 的最大值，其中 $G$ 没有诱导 $6$-环。他们的问题是 $\limsup_{n \to\infty}\frac{f(n)}{n}$ 是否等于 $\frac{1}{4}$。我们通过证明 $f(n) = \left \lfloor (n+1)/4 \right \rfloor$ 来验证这一点。该证明依赖于进一步证明：若 $G$ 符合上述条件且 $\iota(G, P_3) = (n+1)/4$，则对 $G$ 的每个顶点 $v$，都有 $\iota(G-v, P_3) < \iota(G, P_3)$。这一新思想有望在进一步应用中发挥作用。我们还证明，如果此类图 $G$ 的最大度数至少为 $5$，则 $\iota(G,P_3) \leq n/4$。