关于由单个顶点支配的图的隔离性猜想的证明

一个图 $F$ 的一个子图称为 $F$-拷贝。对于任意图 $G$，$G$ 中 $F$-拷贝的隔离数，记作 $\iota(G,F)$，是指顶点集 $G$ 中最小子集 $D$ 的大小，使得 $D$ 在 $G$ 中的闭邻域 $N[D]$ 与 $G$ 中包含的 $F$-拷贝的顶点集相交（等价地，$G-N[D]$ 不包含任何 $F$-拷贝）。因此，$\iota(G,K_1)$ 是图 $G$ 的支配数 $\gamma(G)$，而 $\iota(G,K_2)$ 是图 $G$ 的顶点-边支配数。我们证明了如果 $F$ 是一个 $k$ 条边的图，$\gamma(F) = 1$（即 $F$ 有一个与 $F$ 的其他所有顶点相邻的顶点），而 $G$ 是一个连通的 $m$ 条边的图，那么 $\iota(G,F) \leq \big\lfloor \frac{m+1}{k+2} \big\rfloor$，除非 $G$ 是一个 $F$-拷贝或 $F$ 是一条 $3$ 条边的路径且 $G$ 是一个 $6$ 条边的环。这是张玮和吴斌最近提出的一个猜想，他们解决了极端情况 $F$ 为星形图的情形。另一极端情况 $F$ 为完全图时的结果已由 Fenech、Kaemawichanurat 和本作者获得。该界限在除 $1 \leq m = k \leq 2$ 情形下均可达到。猜想的证明中引入了新的思想，包括删除方法和可整除性考虑。