隔离数：笛卡尔积与字典序积及广义 Sierpi\'n\ski 图

图 $G$ 的隔离数 $\iota(G)$ 是最小集合 $A\subset V(G)$ 的基数，使得由顶点集中不在集合 $A$ 中各顶点封邻域的并集中不包含边的子图。该不变量也称为顶点-边支配数，近年来引起了广泛关注。本文我们研究在几种图运算下的隔离数行为，包括笛卡尔积、字典序积以及导致广义 Sierpi\'n\ski 图的分形化。我们证明了关于两个图的笛卡尔积的隔离数的若干上界和下界。我们给出广义 Sierpi\'n\ski 图 $S_G^t$（其中 $G$ 为任意基图）的隔离数的尖锐下界和上界。在经典 Sierpi\'n\ski 图的情况下，即 $S_{K_n}^t$，这些界相等，得到精确值 $\iota(S_{K_n}^t)=(n-1)\cdot n^{t-2}$，适用于所有维数 $t\ge 2$。