关于含通用顶点的图的隔离猜想的证明

图 $F$ 的一个副本称为一个 $F$-副本。对于任意图 $G$，其 $F$-隔离数 $\iota(G,F)$ 定义为 $G$ 的顶点集的最小子集 $D$ 的大小，使得 $D$ 在 $G$ 中的闭邻域 $N[D]$ 与 $G$ 中包含的 $F$-副本的顶点集相交（等价地，$G-N[D]$ 不包含任何 $F$-副本）。因此，$\iota(G,K_1)$ 即为 $G$ 的控制数 $\gamma(G)$，而 $\iota(G,K_2)$ 即为 $G$ 的顶点-边控制数。通过解决 Zhang 和 Wu 的一个猜想，第一作者证明了：若 $F$ 是一个 $k$-边图，$\gamma(F) = 1$（即 $F$ 有一个与其余所有顶点相邻的顶点），且 $G$ 是一个连通的 $m$-边图，则 $\iota(G,F) \leq \frac{m+1}{k+2}$，除非 $G$ 是 $F$-副本，或者 $F$ 是 3-路径且 $G$ 是 6-圈。我们通过确定达到该界的图，证明了 Zhang 和 Wu 的另一个猜想。