次立方图的一个 3-路径隔离问题的解

连通 $n$ 阶图 $G$ 的 $3$-路径隔离数 $\iota(G,P_3)$ 是顶点集的一个最小子集 $D$ 的大小,使得 $D$ 在 $G$ 中的闭邻域 $N[D]$ 与 $G$ 的所有 $3$-顶点路径的顶点集相交,即 $G-N[D]$ 中没有两条边相交。若 $G$ 不是 $3$-路径、$3$-圈或 $6$-圈,则 $\iota(G,P_3) \leq 2n/7$。该结论由 Zhang 和 Wu 证明,Borg 独立地以稍作扩展的形式给出了证明。该界被无穷多个含有导出 $6$-圈的连通图所达到。Huang、Zhang 和 Jin 证明了:若 $G$ 没有 $6$-圈,或 $G$ 既无导出 $5$-圈也无导出 $6$-圈,则除 $G$ 为 $3$-路径、$3$-圈、$7$-圈或 $11$-圈外,有 $\iota(G,P_3) \leq n/4$。他们曾问:对于不含导出 $6$-圈的连通图,该上界是否仍渐近成立。因此,该问题本质上在于:导出 $6$-圈是否单独决定两个界之间的差异。在本文中,我们对次立方图解决了这一问题,因为次立方图需要与其他图区别处理。我们证明:若 $G$ 是次立方的且不含导出 $6$-圈,则除 $G$ 为 $12$ 个特定图(阶数分别为 $3$、$7$、$11$ 和 $15$)之一外,有 $\iota(G,P_3) \leq n/4$。该界是紧的。