关于连通性 Waiter-Client 博弈

在本短文中，我们考虑在一个由 $q+1$ 棵互不相交的生成树构成的 $n$ 顶点图 $G$ 上进行的连通性 Waiter-Client 博弈 $WC(n,q,\mathcal{A})$ 的一个变体。在此博弈中，每轮 Waiter 向 Client 提供 $G$ 中尚未提供过的 $q+1$ 条边。Client 选择一条边，其余 $q$ 条边被丢弃。Waiter 的目标是迫使 Client 构建出一个连通图。若发生此事则 Waiter 获胜，否则 Client 为赢家。我们考虑 $2 < q+1 < \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor$ 的情形，并证明对每一个这样的 $q$，存在一个图 $G$ 使得 Client 有获胜策略。该结果与 $G$ 仅由 2 棵生成树组成或 $G$ 为完全图的情形相反，因为已证明对此类图 Waiter 总能迫使 Client 构建出连通图。