Waiter-Client和Client-Waiter平面性、可着色性和子图游戏

对于有限集合$X$，集合族${\mathcal F} \subseteq 2^X$和正整数$q$，我们考虑两种类型的双人完美信息游戏，没有随机移动。在$(1 : q)$ Waiter-Client游戏$(X, {\mathcal F})$的每一轮中，第一个玩家（称为Waiter）向第二个玩家（称为Client）提供$q+1$个之前未提供过的棋盘$X$的元素。然后Client选择其中一个元素并声明拥有，其余$q$个元素归Waiter所有。如果当$X$的每个元素都被某个玩家声明时，Client已经声明了某个$A \in {\mathcal F}$的所有元素，则Waiter赢得该游戏；否则Client获胜。Client-Waiter游戏的定义类似，主要区别在于如果Client设法声明了某个$A \in {\mathcal F}$的所有元素，则Client获胜，否则Waiter获胜。在本文中，我们研究了非平面性、$K_t$-子图和非$k$-可着色性游戏的Waiter-Client和Client-Waiter版本。对于每个这样的游戏，我们给出了一个相当精确的整数$q$的估计，在该整数处游戏结果从Client获胜变为Waiter获胜。我们还讨论了我们的结果、随机图以及相应的Maker-Breaker和Avoider-Enforcer游戏之间的关系。