理想的符号缺陷

设 $I$ 为 $\Bbbk[x_0,\ldots,x_n]$ 的齐次理想。为了比较 $I$ 的第 $m$ 次符号幂 $I^{(m)}$ 与第 $m$ 次常规幂 $I^m$，我们引入 $I$ 的第 $m$ 次符号缺陷，记为 $\operatorname{sdefect}(I,m)$。具体而言，$\operatorname{sdefect}(I,m)$ 是 $R$-模 $I^{(m)}/I^m$ 的最小生成元数，等价地，即为使 $I^m$ 生成 $I^{(m)}$ 所需添加的最小生成元数。在本文中，我们通过考虑 $I$ 为星形构形的定义理想或 $\mathbb{P}^2$ 中有限点集关联理想的情况，迈出了理解符号缺陷的第一步。我们特别感兴趣的是识别满足 $\operatorname{sdefect}(I,2) = 1$ 的理想 $I$。