't Hooft 极限下的谱形状因子——中间性与普适性

谱形状因子（SFF）是刻画具有离散谱的系统本征值统计的便利工具，因而可作为量子混沌性的代用指标。本工作给出 Chern-Simons 矩阵模型（CSMM）的 SFF 的解析计算，该模型最初被引入用以描述迁移率边处无序电子的中间能级统计。CSMM 由一个参数 0 \leq q\leq 1 刻画，其中当 q\to 0 时恢复 Circular Unitary Ensemble（CUE）。CSMM 后来被发现为 S^3 上 U(N) Chern-Simons 理论的矩阵模型描述，其对偶于由弦耦合 g_s=-\log q 刻画的拓扑弦理论。谱形状因子正比于一个 (2n,2)-环面链环的着色 HOMFLY 不变量，其两个分支分别携带基本与反基本表示。我们验证在取 N \to \infty 同时保持 q<1 时，连通 SFF 约化为斜率为 1 的精确线性斜坡，证实了 arXiv:2012.11703 中关于 CSMM 特定情形下的主要结果。随后我们考虑 't Hooft 极限，其中 N \to \infty 且 q \to 1^- 使得 y = q^N 保持有限。当我们取 q\to 1^- 时，这构成了 CUE 极限的反面极端。在 't Hooft 极限下，连通 SFF 变为一组引人注目的多项式序列，据作者所知此前未见于文献。谱中打开一个能隙，并经常数重标度展开后，对所有 y 除 y \approx 1 外连通 SFF 逼近斜率为 1 的线性斜坡，而在 y \approx 1 处连通 SFF 趋于零。因此我们发现在尽管 CSMM 被引入描述中间统计且 't Hooft 极限是 CUE 的反极限，我们仍对所有 y 除 y\approx 1 外恢复了 Wigner-Dyson 普适性。