非厄米矩阵的谱统计与耗散量子混沌

我们提出一种称为耗散谱形状因子（DSFF）的度量，用以刻画非厄米（及非幺正）矩阵的谱统计。我们表明 DSFF 能成功诊断耗散量子混沌，并揭示复本征值实部与虚部之间直至任意能量（及时间）尺度的关联。具体地，我们给出了 GinUE 和泊松随机谱（Poisson）的 DSFF 精确解，分别作为耗散量子混沌与可积系统的最小模型。对于耗散量子混沌系统，我们表明 DSFF 在其复时间变量 $\tau$ 中展现精确的旋转对称性。类比于 GUE 的谱形状因子（SFF）行为，GinUE 的 DSFF 在 $|\tau|$ 上展现“下降-斜坡-平台”行为：DSFF 初始下降，在中间时间尺度上升，并在按平均能级间距倒数标度的广义海森堡时间后饱和。值得注意的是，对于大矩阵尺寸，GinUE 的 DSFF“斜坡”在 $|\tau|$ 中二次增长，不同于厄米系综中 SFF 的线性斜坡。对于耗散量子可积系统，我们表明 DSFF 取常数值，除非在依赖于本征值密度的复时间中某一区域。数值上，我们验证了上述论断，并表明实和四元数实 Ginibre 系综的 DSFF 与 GinUE 行为一致，除了在大矩阵尺寸极限下测度为零的复时间平面区域。作为物理例子，我们考虑带耗散的量子踢顶模型，并表明当“踢”开启或关闭时它分别落入 Ginibre 普适类与 Poisson。最后，我们研究了随机经典随机矩阵的系综的谱统计，并表明这些模型落入 Ginibre 普适类。