$(k,l)$-对称CMC曲面的谱曲线理论

三维球面$S^3$中的常平均曲率曲面可以通过其相伴的平坦联络族来研究。在环面的情况下，该方法已实现对全部CMC环面模空间的深刻理解。对于高亏格的紧致CMC曲面，由于其基本群的非交换性质，理论要复杂得多。本文将在\cite{Hi, PiSt}中发展的环面谱曲线理论以及\cite{He3}中亏格$2$曲面的理论，推广到$S^3$中具有交换的$\mathbb Z_{k+1}$和$\mathbb Z_{l+1}$对称性的亏格$g=k\cdot l$的CMC曲面。我们通过由谱曲线参数化的某些平坦线丛联络确定了它们的相伴平坦联络族。我们推广了\cite{HeHeSch}中引入的谱数据上的流，并证明了该流对某些初值曲面族的短时存在性。由此我们得到了具有高亏格、具有指定分支点和指定脐点的各种新CMC曲面族。