环的 Segal-Neretin 半群

向量场的 Lie 代数积分得到 $S^1$ 的微分同胚群。自 Segal 和 Neretin 的工作以来，人们已知 $S^1$ 向量场复化的 Lie 代数不存在对应的 Lie 群。该不存在群的替代方案由由环面组成的复半群提供，其元素是两个边界圆（由 $S^1$ 参数化）的 genus zero 黎曼曲面。$\mathrm{Diff}(S^1)$ 位于该半群的边界，可视为完全薄的环面，即内部为空的环面。本文中，我们考虑了该环面半群的扩张，记为 $\mathrm{Ann}$，其中允许环面部分薄化：其两个边界圆可沿任意闭合子集相互接触。我们证明了 $\mathrm{Ann}$ 中的每个（部分薄化）环面 $A$ 是位于 $S^1$ 上指向内的复向量场锥中路径的时间有序指数，且据此构建了一个中心扩张 $$0\to \mathbb{C} \times \mathbb{Z} \to \tilde{\mathrm{Ann}} \to \mathrm{Ann} \to 0$$ 该扩张积分了向量场 $S^1$ 的 Lie 代数的普适（Virasoro）中心扩张。在后续研究中，我们将证明 Virasoro 代数的每个单位正能表示积分到 $\tilde{\mathrm{Ann}}$ 通过有界算子在 Hilbert 空间上的全續表示中。