Liouville CFT 中的半群面积

在保形场论中，带边界参数化的面积半群在作用上起着特殊作用，因为它生成了局部分形对称性的整个代数，即所谓的 Virasoro 代数。具有收缩双曲函数 $f:\mathbb{D}\to f(\mathbb{D})\subset \mathbb{D}^\circ$ 且 $f(0)=0$ 的子集 $\mathbb{A}_f=\mathbb{D}\setminus f(\mathbb{D}^\circ)$ 称为全纯半群面积。在本文中，我们构造了 Liouville 保形场论 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上受界算子空间的全纯半群面的可微表示，并证明它在微分作用下生成正的 Virasoro 元素 ${\bf L}_n、\tilde{{\bf L}}_n$（$n\geq 0$）。我们还构造了以 Segal 振幅形式表示的面积半群在 $\mathcal{H}$ 上受界算子空间的射影表示，并证明所有 Virasoro 元素 ${\bf L}_n、\tilde{{\bf L}}_n$（$n\in \mathbb{Z}$）均可通过对这些面积振幅求微分得到。最后，我们利用这一点表明，Liouville 理论的 Segal 振幅相对于其边界参数化是可微的，并以 Virasoro 生成器的形式计算其微分。本文将在随后工作中作为构建满足 Ward 恒等式的在 Teichmuller 空间上具有全纯线束全定义全纯截面（conformal blocks）的基本工具。