螺线管 Virasoro 代数及其简单权模

设 $A_n=\mathbb{C}[t_i^{\pm1},~1\leq i\leq n]$ 为 $n$ 变量的 Laurent 多项式代数。设 $\mu=(\mu_1,\ldots,\mu_n)$ 为 $\mathbb{C}^n$ 中的通用向量，$\Gamma_{\mu}=\{\mu\cdot\alpha,\alpha\in \mathbb{Z}^n\}$，其中对于 $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in \mathbb{Z}^n$，有 $\mu\cdot\alpha=\displaystyle\sum_{i=1}^n\mu_i\alpha_i$。记 $d_\mu$ 为向量场：$$d_\mu=\displaystyle\sum_{i=1}^n\mu_it_i\frac{d}{dt_i}.$$在 \cite{BiFu} 中，Y. Billig 和 V. Futorny 引入了螺线管 Lie 代数 $\mathbf{W}(n)_{\mu}:=A_nd_\mu$，其 Lie 结构由向量场的交换子给出。在本文的第一部分，我们研究了 $\mathbf{W}(n)_{\mu}$ 的泛中心扩张。我们获得了一个秩为 $n$ 的 Virasoro 代数，称为螺线管 Virasoro 代数 $\mathbf{Vir}(n)_\mu$。在第二部分，我们回顾了 $\mathbf{Vir}(n)_\mu$ 情形下，\cite{Su,Su1,LuZhao} 中研究的广义 Virasoro 代数的著名 Harish-Chandra 模。在第三部分，我们利用 $\mathbb{Z}^{n}$ 上的字典序给出的三角分解，构造了不可约的最高和最低 $\mathbf{Vir}(n)_\mu$-模。我们证明了这些模是权模，且具有无限维的权空间。