能量空间中 $abcd$ Boussinesq 系统的散射问题

Boussinesq $abcd$ 系统是定义在 $\mathbb{R}_t \times \mathbb{R}_x$ 上的四参数方程组，最初由 Bona、Chen 和 Saut 推导，作为浅水波 regime 中不可压无旋二维水波方程的一阶双波近似，承袭原始 Boussinesq 推导精神。在众多特定 regime 中（各由方程中参数 $(a,b,c,d)$ 取值决定），“通用” regime 的特征为 $b,d>0$ 且 $a,c<0$。若再有 $b=d$，该系统为哈密顿系统。在此 regime 下，只要处理小解，系统在能量空间 $H^1\times H^1$ 中整体适定。本文研究该 regime 中的衰减与散射问题，其特征是具有（二次）长程非线性、因一维设置导致的极弱线性衰减 $O(t^{-1/3})$，以及存在非散射解（孤立波）。我们证明（ among other results）对于充分色散的 $abcd$ 系统（仅由参数 $a, b, c$ 刻画），所有小解必须在光锥 $|x|\leq |t|$ 的适当子集中于能量空间局部强衰减至零。我们遵循 Kowalczyk、Martel 与第二作者以及最近后三位作者（对更简单的标量“好 Boussinesq”模型成立）的工作精神，构造三个合适的 virial 泛函来证明此结果，从而得到全局时间衰减及所有局部 $H^1\times H^1$ 项的控制。证明衰减无需奇偶性 nor 额外衰减假设，仅需能量空间中的小解。