相对 $p$-容量

本文旨在引入关于 $\IR^N$ 中开集 $\Omega$ 的相对 $p$-容量 $\Cap_{p,\Omega}$。它是 $\Omega$ 闭包上的 Choquet 容量，并在 $\Omega=\IR^N$ 时满足 $\Cap_{p,\Omega}=\Cap_p$ 的意义下推广了经典 $p$-容量 $\Cap_p$。相对 $p$-容量的重要性在于，定义在“坏区域”上的大一类 Sobolev 函数在边界 $\partial\Omega$ 上允许存在迹，且该迹在相差一个 $\Cap_{p,\Omega}$-极集的意义下是唯一的。作为应用，我们证明了开集 $\Omega\subset\IR^N$ 的 $W^{1,p}_0(\Omega)$ 的一个刻画。