p-容量与表面积

本文致力于探索 $\mathbb R^{n\ge 2}$ 中 $[1,n)\ni p$-容量与表面积之间的关系，特别地表明：若 $\Omega\subset\mathbb R^n$ 是一个凸的、紧的光滑集合，其内部 $\Omega^\circ\not=\emptyset$ 且其边界 $\partial\Omega$ 的平均曲率 $H(\partial\Omega,\cdot)>0$，则 $$\left(\frac{n(p-1)}{p(n-1)}\right)^{p-1}\le\frac{\left(\frac{\hbox{cap}_p(\Omega)}{\big(\frac{p-1}{n-p}\big)^{1-p}\sigma_{n-1}}\right)}{\left(\frac{\hbox{area}(\partial\Omega)}{\sigma_{n-1}}\right)^\frac{n-p}{n-1}}\le\left(\sqrt[n-1]{\int_{\partial\Omega}\big(H(\partial\Omega,\cdot)\big)^{n-1}\frac{d\sigma(\cdot)}{\sigma_{n-1}}}\right)^{p-1}\quad\forall\quad p\in (1,n)$$ 其极限 $1\leftarrow p\ \&\ p\rightarrow n$ 蕴含 $$1=\frac{cap_1(\Omega)}{\hbox{area}(\partial\Omega)}\ \ \&\ \int_{\partial\Omega}\big(H(\partial\Omega,\cdot)\big)^{n-1}\frac{d\sigma(\cdot)}{\sigma_{n-1}}\ge 1,$$ 从而不仅发现新的已知最佳常数距离 P\'olya-Szeg"o 在 \cite[(2)]{P} 中猜想的常数大约差一半，而且推广了 \cite[(5)]{P} 中的 P\'olya-Szeg"o 不等式，其中该猜想与不等式都是针对 $\mathbb R^3$ 中凸实体的静电容量而陈述的。