平面凸域上容度曲率测度的预定问题

对于 $p\in (1,2]$ 以及有界、凸、非空开集 $\Omega\subset\mathbb R^2$，令 $\mu_p(\bar{\Omega},\cdot)$ 为在单位圆 $\mathbb S^1$ 上由 $\Omega$ 的闭包 $\bar{\Omega}$ 生成的 $p$-容度曲率测度。本文表明，在平面凸域上预定 $\mu_p$ 的如下问题：“给定 $\mathbb S^1$ 上有限、非负 Borel 测度 $\mu$，求有界、凸、非空开集 $\Omega\subset\mathbb R^2$ 使得 $d\mu_p(\bar{\Omega},\cdot)=d\mu(\cdot)$”可解当且仅当 $\mu$ 的质心在原点且其支撑 $\mathrm{supp}(\mu)$ 不包含任何一对对径点。并且解在平移下唯一。此外，若 $d\mu_p(\bar{\Omega},\cdot)=\psi(\cdot)\,d\ell(\cdot)$，其中 $\psi\in C^{k,\alpha}$ 且 $d\ell$ 为 $\mathbb S^1$ 上的标准弧长元，则 $\partial\Omega$ 为 $C^{k+2,\alpha}$ 类。