海森堡群中的柯西表面积公式

我们展示了对于 $n\geq 1$ 的海森堡群 $\mathbb{H}_n$ 的柯西表面积公式的类似物，其表述为：$\mathbb{H}_n$ 中任意紧致超曲面 $\Sigma$ 的 p-面积（其 p-法向量在 $\Sigma$ 上几乎处处定义）等于其投影 p-面积在所有 Pansu 球的 p-法向量正交补上的平均值（相差一个常数）。该公式为 Cheng-Hwang-Malchiodi-Yang [9] 在 $\mathbb{H}_1$ 中以及 Cheng-Hwang-Yang [7] 在 $n\geq 2$ 的 $\mathbb{H}_n$ 中定义的 p-面积提供了几何解释。我们还刻画了 $\mathbb{H}_n$ 中旋转对称域的投影面积，即：对于 $\mathbb{H}_n$ 中任何边界为旋转对称的域，其到 Pansu 球任意法向量正交补上的投影 p-面积均为常数，与所选取的投影方向无关。