以任意精度测试表面积

最近，Kothari 等人提出了一种测试任意集合 $A \subset [0, 1]^n$ 表面积的算法。具体而言，他们给出了一种随机算法：如果 $A$ 的表面积小于 $S$，则该算法将以高概率接受；如果该算法以高概率接受，则存在 $A$ 的某个扰动，其表面积至多为 $\kappa_n S$。此处，$\kappa_n$ 是一个依赖于维度的常数，当 $n \ge 2$ 时严格大于 1，且当 $n \to \infty$ 时趋于 $4/\pi$。我们对 Kothari 等人的算法进行了改进分析。在此过程中，我们将常数 $\kappa_n$ 替换为 $1 + \eta$，其中 $\eta > 0$ 为任意值。我们还将该算法推广至黎曼流形上更一般的测度。