多维聚集斑块边界的正则性

设 $d \geq 2$ 且令 $N(y)$ 为 $R^d$ 中拉普拉斯方程的基本解。我们考虑聚集方程 $$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho v) =0, v = -\nabla N * \rho$$ 带有初始数据 $\rho(x,0) = \chi_{D_0}$，其中 $\chi_{D_0}$ 是有界域 $D_0 \subset R^d$ 的指示函数。我们现在固定 $0 < \gamma < 1$ 并取 $D_0$ 为有界 $C^{1+\gamma}$ 域（具有 $C^{1+\gamma}$ 类光滑边界的域）。于是我们有定理：如果 $D_0$ 是 $C^{1 + \gamma}$ 域，则上述初值问题有解由 $$\rho(x,t) = \frac{1}{1 -t} \chi_{D_t}(x), \quad x \in R^d, \quad 0 \le t < 1$$ 给出，其中对所有 $0 \leq t < 1$，$D_t$ 是 $C^{1 + \gamma}$ 域。