C[x]、R[x]与Z[x]上乘法函数的取值范围
数论
2014-02-26 v2 组合数学
摘要
将 Mahler 测度推广以构造出一类{\it 乘法距离函数}。这些函数基于多项式在复平面中零点位置来度量多项式的复杂度。遵循 S.-J. Chern 和 J. Vaaler 在 \cite{chern-vaaler} 中的工作，我们对每个乘法距离函数关联两个解析函数族，它们编码了其在 \C[x] 和 \R[x] 上取值范围的信息。这些{\it 矩函数}是关联于该乘法距离函数的分布函数的 Mellin 变换，并展现出大量的算术结构。例如，我们证明限制于 2N 次实互反多项式上的与 Mahler 测度相关的矩函数可解析延拓为具有有理系数的有理函数，在 -N 与 N 之间的整数处有单极点，并在原点有 2N 重零点。这一发现给出了当 时测度小于 T 的定次数互反整系数多项式个数的渐近估计。为解释该矩函数的结构，我们证明乘法距离函数的实矩函数可写为由关联于该乘法距离函数的斜对称双线性形式构成的斜对称矩阵的 Pfaffian。
引用
@article{arxiv.math/0509591,
title = {The range of multiplicative functions on C[x], R[x] and Z[x]},
author = {Christopher D. Sinclair},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0509591},
year = {2014}
}
备注
41 pages, 2 figures. To be published in Proc. London Math. Soc. This revision includes a change of the title, minor changes suggested by the referee and a change in format consistent with the journal