马赫尔测度的行列式与 L 函数的特殊值

我们考察两组经典双变量多项式族的马赫尔测度，分别为 $P_t=x+x^{-1}+y+y^{-1}+\sqrt{t}$ 和 $Q_t=x^3+y^3+1-\sqrt[3]{t}xy$，其中 $t$ 为复数参数。当这些多项式的零轨迹定义在数域上的共轭矩曲线时，我们推导了它们的马赫尔测度表达式，表述为边缘形式 $L$ 函数的值。对于每一族，我们还分类了在次数不超过4的数域中，使得相应矩曲线具有共轭矩的所有可能 $t$ 值。最后，对于所有在次数为2和4的全实数域中的 $t$ 值，对应于矩曲线 $\mathcal{F}_t$（或 $\mathcal{C}_t$），我们证明了其对应的 Galois 共轭的马赫尔测度构成的 $n \times n$ 矩阵的行列式是 $L^{(n)}(\mathcal{F}_t,0)$（或 $L^{(n)}(\mathcal{C}_t,0)$）的非零有理数倍。