三变量精确多项式的 Mahler 测度

我们证明在某些显式条件下，三变量多项式的 Mahler 测度可在 Beilinson 猜想成立的前提下用椭圆曲线 $L$-值及 Bloch-Wigner 双对数值表示。某些情形下，这些双对数值可化简为 Dirichlet $L$-值。证明涉及在数域上光滑射影曲线的 $K_4^{(3)}$ 中构造一个元素。这推广了 Lal\'in 关于多项式 $z + (x+1)(y+1)$ 的结果。我们将该方法应用于 Boyd 与 Brunault 所猜想的若干其他 Mahler 测度恒等式。