定义亏格 2 与 3 曲线的多项式的 Mahler 测度

本文中，我们研究定义亏格 2 和亏格 3 曲线的 500 多个互反多项式族的 Mahler 测度。我们数值地发现了这些多项式的 Mahler 测度与 $L$-函数特殊值之间的关系。我们还数值地发现了涉及定义亏格 2 和亏格 3 曲线的不同多项式族的 Mahler 测度之间的 100 多个恒等式。此外，我们研究了几族定义亏格 2 曲线的非互反多项式的 Mahler 测度，并数值地发现了这些族的 Mahler 测度与椭圆曲线 $L$-函数特殊值之间的关系。我们还发现了这些非互反族与定义亏格 1 曲线的 tempered 多项式的 Mahler 测度之间的恒等式。我们将通过考虑这些多项式所定义曲线的 $K_2$ 中某些元素的推前与拉回，并应用关于曲线 $K_2$ 的 Beilinson 猜想，来解释这些关系。我们展示了在某些亏格 2 和亏格 3 曲线族中存在两个和三个显式线性无关的 $K_2$ 元素。