$P_d$ 多项式的 Mahler 测度

本文研究一类二元多项式族的 Mahler 测度，记为 $P_d, d\geq 1$，其在次数与亏格上均无界。利用“Volume function and Mahler measure of exact polynomials”（Guilloux 与 Marché 著）中引入的 Mahler 测度闭式公式，我们得以对任意 $d$ 将 $m(P_d)$ 计算为 dilogarithm 在特殊单位根处取值之和。我们证明 $m(P_d)$ 收敛且极限正比于 $\zeta(3)$，其中 $\zeta$ 为黎曼 zeta 函数。