拟线性Schrödinger–Poisson系统

本文研究$(p,q)$–Schrödinger–Poisson系统 \begin{eqnarray*} \left \{\begin{array}{ll} \displaystyle -\Delta_p u+|u|^{p-2}u+\lambda\phi |u|^{s-2}u=|u|^{r-2}u,&\mathrm{in} \ \mathbb{R}^3,\\ \displaystyle -\Delta_q \phi = |u|^s, &\mathrm{in}\ \mathbb{R}^3,\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*} 其中$1<p<3$,$\max \left\{1,\frac{3p}{5p-3}\right\}<q<3$,$p<r<p^*:=\frac{3p}{3-p}$,$\max\left\{1,\frac{(q^*-1)p}{q^*}\right\}<s<\frac{(q^*-1)p^*}{q^*}$,$\Delta_i u=\hbox{div}(|\nabla u|^{i-2}\nabla u)\ (i=p,q)$且$\lambda>0$为参数。该拟线性系统是新的,文献中从未被考虑过。拟线性Poisson方程解的唯一性通过Minty–Browder定理获得。建立了该拟线性系统的变分框架,并通过山路定理得到系统的非平凡解。