离散交叉积的纯态扩张性质

设 $G$ 为一个离散群，通过 $*$-自同构作用于有单位元的 $C^*$-代数 $\mathcal{A}$。本文证明，包含关系 $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{A} \rtimes_r G$ 具有纯态扩张性质（即 $\mathcal{A}$ 上的每个纯态唯一地扩张为 $\mathcal{A} \rtimes_r G$ 上的一个纯态）当且仅当 $G$ 自由地作用于 $\mathcal{A}$ 的谱 $\mathcal{\widehat{A}}$ 上。同样的刻画对包含关系 $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{A} \rtimes G$ 也成立。这推广了 $\mathcal{A}$ 为交换时已有的已知结果。