连通性代价：顶点覆盖问题

图的顶点覆盖数是覆盖所有边所需的最小顶点数。当进一步要求这些顶点诱导出一个连通子图时，相应的数称为连通顶点覆盖数，且总是大于或等于顶点覆盖数。连通顶点覆盖出现在许多应用中，因此这两个图不变量之间的关系是一个自然的研究问题。为此，我们引入了{\em 连通性代价}，定义为两个顶点覆盖数之比。我们证明对于任意图，连通性代价至多为2。我们进一步考虑图类，其中每个诱导子图的连通性代价被某个实数$t$所界。对于每个实数$t \leq 3/2$，我们得到了禁止诱导子图刻画。我们还研究了该性质的临界图，即连通性代价严格大于任何真诱导子图的图。这些是对于连通性代价至多为$t$的遗传性质，唯一可能出现在禁止子图刻画中的图。特别地，我们完全刻画了也是弦图的临界图。最后，我们还考虑了计算给定图的连通性代价的问题。不出所料，该问题的判定版本是NP难的。事实上，我们证明它对于类$\Theta_2^P = P^{NP[\log]}$甚至是完全的，该类是可以在多项式时间内解决的判定问题类，前提是我们能向NP预言机进行$O(\log n)$次查询。这为彻底研究涉及图不变量比值的问题的复杂性铺平了道路。