图中的极小连通横截集：新的硬度结果与利用连通性代价的可解情形

我们对三个相关横截集问题（顶点覆盖、反馈顶点集和奇环横截集）的连通变体的计算复杂性进行了系统研究。就像它们原始的对应问题一样，这些变体对于一般图是NP完全的。如果图 $G$ 不包含同构于 $H$ 的导出子图，则图 $G$ 对于某个图 $H$ 是 $H$-free 的。已知如果 $H$ 包含爪或环，则连通顶点覆盖对于 $H$-free 图甚至是NP完全的。我们证明了另外两个连通变体在 $H$ 包含环或爪时也保持NP完全。在剩余情况下，$H$ 是线性森林。我们证明了对于每个常数 $s\geq 1$，连通顶点覆盖、连通反馈顶点集和连通奇环横截集对于 $sP_2$-free 图都是多项式时间可解的。为了证明这些结果，我们使用了关于顶点覆盖、反馈顶点集和奇环横截集的连通性代价的已知结果。这是连通性代价的首次应用，并由此产生了多项式时间算法。