二分图收缩为小圈复杂性

对于正整数 $\ell \geq 3$，$C_\ell$-可收缩性问题以一个无向简单图 $G$ 为输入，并判定 $G$ 是否可仅通过使用边收缩变换为同构于 $C_\ell$（$\ell$ 个顶点上的诱导圈）的图。Brouwer 和 Veldman [JGT 1987] 证明了 $C_4$-可收缩性在一般图中是 NP-完全的。容易验证 $C_3$-可收缩性可在多项式时间内求解。Dabrowski 和 Paulusma [IPL 2017] 证明了 $C_{\ell}$-可收缩性在二分图上对 $\ell = 6$ 是 NP-完全的，并将 $\ell$ 为 4 或 5 时该问题的状态作为开放问题。在本文中，我们证明了 $C_5$-可收缩性和 $C_4$-可收缩性在二分图上均为 NP-完全的。