平面 Busemann-Petty 质心不等式及其稳定性

在 [Centro-affine invariants for smooth convex bodies, Int. Math. Res. Notices. doi: 10.1093/imrn/rnr110, 2011] 中，Stancu 引入了一族中心仿射正规流，即针对 $1\leq p<\infty$ 的 $p$-流。在此，我们研究了在光滑、原点对称凸体类中，$p=\infty$ 时平面 $p$-流的渐近行为。首先，我们证明了 $\infty$-流将适当归一化的原点对称解在模 $SL(2)$ 意义下演化至 Hausdorff 度量下的单位圆盘。其次，利用 $\infty$-流和该流的 Harnack 估计，我们在 Banach-Mazur 距离下证明了平面 Busemann-Petty 质心不等式的稳定性版本。第三，我们证明了归一化解在 Hausdorff 度量下的收敛性可以改进为在 $\mathcal{C}^{\infty}$ 拓扑下的收敛性。