离散热流的若干几何应用

我们给出离散超立方体 $\{-1,1\}^n$ 上热流方法的两种几何应用。首先，我们证明若 $X$ 是有限维赋范空间，则将配备 Hamming 度量的 $\{-1,1\}^n$ 嵌入 $X$ 所需的双 Lipschitz 畸变满足 $$\mathsf{c}_X\big(\{-1,1\}^n\big) \gtrsim \sup_{p\in[1,2]} \frac{n}{\mathsf{T}_p(X) \min\{n,\mathrm{dim}(X)\}^{1/p}},$$ 其中 $\mathsf{T}_p(X)$ 是 $X$ 的 Rademacher 型 $p$ 常数。该估计对 Oleszkiewicz（1996）与 Ivanisvili、van Handel 和 Volberg（2020）关于低维空间 $X$ 的畸变下界给出了一种相互改进。证明依赖于对 Pisier（1986）关于偏置超立方体一个重要不等式的推广，并结合来自代数拓扑的 Borsuk-Ulam 定理的应用。其次，我们引入一种称为度量稳定型的新度量不变量，作为离散超立方体上的函数不等式，并证明其对赋范空间与经典的线性稳定型概念一致。我们还表明度量稳定型给出了加权超立方体的双 Lipschitz 不可嵌入估计。