作为可积性条件的结合代数的 PBW 性质

我们开发了一种初等方法，用于证明具有上升滤过的结合代数的 PBW 定理。其思路大致如下：首先，我们将针对{\it 上升}滤过（滤过度等于 $x_i$ 的总次数）的 PBW 性质的证明，归结为针对{\it 下降}滤过（滤过度等于引入问题的多项式参数 $\hbar$ 的幂次）的某种类 PBW 性质。这种针对下降滤过的 PBW 性质保证了对于参数 $\hbar$ 的几乎所有特化，上升滤过具有真正的 PBW 性质。其次，我们开发了一种极具构造性的方法来证明这种关于 $\hbar$ 幂次的下降滤过的类 PBW 性质，并强调其可积性本质。我们展示了该方法在三个示例中的应用。作为第一个示例，我们给出了李代数经典 Poincar\'{e}-Birkhoff-Witt 定理的证明。作为第二个远非平凡的示例，我们提出了 Etingof 和 Ginzburg [EG] 关于具有三变量循环非交换势的代数的 PBW 性质结果的新证明。最后，作为第三个示例，我们找到了一个判据，用于判断一般二次代数（即 $T(V)[\hbar]$ 模去由 $(x_i\otimes x_j-x_j\otimes x_i-\hbar\phi_{ij})_{i,j}$ 生成的双边理想所得的商代数，其中 $\phi_{ij}$ 为一般二次非交换多项式）在通用特化 $\hbar=a$ 下是否为 PBW 代数。该结果似乎是新的。